De middelloodlijn l van twee punten A en B is de lijn die
het lijnstuk AB loodrecht middendoor deelt. Verder is l de verzameling
punten die op even grote afstand van A en B liggen. Construeer
nu een cirkel met straal groter dan ½|AB| om A en een cirkel
met dezelfde straal om B. De snijpunten van deze cirkels hebben dezelfde
afstand tot A en B en liggen dus op de middelloodlijn. Teken nu een
lijn door deze twee punten en je hebt de middelloodlijn gevonden.
De bissectrice b van een hoek is een halve lijn die de hoek middendoor
deelt. De bissectrice is ook de verzameling punten die op even grote afstand
van de benen van de hoek liggen. Nu helpt dit je bij het construeren van
de bissectrice van een hoek. Teken een cirkel om A met willekeurige straal.
Deze snijdt de benen van de hoek in B en C. De middelloodlijn van
B en C is nu de bissectrice van hoek A.
Gegeven zijn een lijn l en een punt A. Gevraagd is een lijn
door A te tekenen die loodrecht op l staat. Teken een cirkel
om A. Deze snijdt l in twee punten B en C en wel
zodanig dat |AB| = |AC|. Dus de middelloodlijn
van B en C is loodlijn van l door A.
Als je twee benen van een willekeurige hoek A hebt, kun je deze hoek
op overbrengen op een willekeurige lijn l. Stel dat je hoek A bij
punt A al getekend hebt, snijd de benen van deze hoek dan met een lijn m.
Dit geeft je de punten B en C. Zet nu (met de benen van de passer)
de afstand |AB| af op l met de punten A' en B', en
teken een cirkel met straal
|AC| om A'. Teken een cirkel met straal |BC| om B'.
Het snijpunt van deze cirkels is C' en omdat van de driehoeken ABC
en A'B'C' overeenkomstige zijden gelijk zijn, zijn
DABC
en DA'B'C' congruent.
Dan zijn ook de overeenkomstige hoeken gelijk, en dus heb je hoek A
overgebracht naar lijn l.
Gegeven zijn de lijn l en een punt A dat niet op l ligt.
De bedoeling is een lijn door A te tekenen, die evenwijdig loopt met l
, maar je mag je geodriehoek natuurlijk niet gebruiken.
Teken nu een willekeurige lijn m door A. Deze moet l snijden
in een punt B, anders is hij al evenwijdig met l. Breng nu de hoek
a tussen l en m over naar het punt A.
Dit kun je al, je hebt immers net die constructie uitgevoerd. Dit geeft je de lijn
n. Omdat de hoeken tussen l en m en tussen
l en n gelijk zijn heb je te maken met F-hoeken. Zodoende lopen l
en n evenwijdig.
6. De raaklijn door een punt aan een cirkel
Gegeven zijn een cirkel g met zijn middelpunt
C en een punt A buiten de cirkel. Hoe teken je nu door het punt
A een raaklijn aan de cirkel? Verbind het middelpunt van de cirkel C
met A, en deel lijnstuk AC middendoor. (Dit kan natuurlijk met de
constructie van de middelloodlijn!) Dit geeft je het punt B.
Teken nu een cirkel om B met straal |BC|. Deze cirkel snijdt
g in twee punten D en E. Dit zijn precies
de raakpunten van de lijnen AD en AE met g.
Opgaven
1. Bij de constructie van een lijn evenwijdig aan een
andere lijn hebben we gebruik gemaakt van een andere
elementaire constructie: het overbrengen van een hoek.
Je kunt ook een evenwijdige lijn construeren door enkel
gebruik te maken van constructie 3: een loodlijn neerlaten
of oprichten. Voer dit uit.
2. Teken twee punten A en B. Construeer nu een gelijkzijdige
driehoek ABC.
3. Voor constructie 6 heb je het middelpunt van een cirkel
nodig. Hoe construeer je dit middelpunt als enkel de cirkel
zelf gegeven is?
Omdat je deze constructie altijd kunt uitvoeren, mag je om tijd te besparen
met je passer een afstand afpassen en onmiddellijk overzetten. We hebben
immers net laten zien dat we elke constructie ook met een inklappende passer
kunnen maken. Net zo mag je vanaf nu elke elementaire constructie onmiddellijk
uitvoeren. We hebben bijvoorbeeld laten zien hoe je een lijn evenwijdig
aan een andere lijn construeert; vanaf nu mag je dit dus gewoon met je
geodriehoek uitvoeren.
Begin met een lijnstuk AB en deel dit middendoor met C. Trek een
cirkel g om A met straal AB en richt een
loodlijn op vanuit A op AB. De cirkel g
snijdt deze loodlijn in punt D.
Teken nu de cirkel met middelpunt C en straal CD. Deze cirkel snijdt
het verlengde van AB in E. Nu geldt dat het punt B
lijnstuk AE volgens de Gulden Snede verdeelt.
Waarom geldt dit eigenlijk? Neem maar eens AC gelijk aan 1. Dan is
AB gelijk aan 2. En met de stelling van Pythagoras vind je: CD
2 = AC2 + AD2 = 5, dus CD
= √5.
Dan is ook CE gelijk aan √5, en daarom
is AE gelijk aan 1 + √5. Maar nu zien we
dat AB/BE = 2/(√5 - 1) = ½
+ ½√5
en AE/AB = (1 + √5)/2 = ½
+ ½√5.
En zoals we weten is ½ + ½√5
gelijk aan F, de Gulden Snede.
We gaan deze constructie uitvoeren. Neem eens aan dat we een lijnstuk
AB met C al in twee delen hebben verdeeld en wel volgens de Gulden Snede.
Teken nu een cirkel g om C met straal BC. We
gaan de vijfhoek construeren in de
cirkel g. g Snijdt het verlengde
van lijnstuk AB in D.
Dit punt D is al een van de punten van de vijfhoek die we zoeken. Teken
nu een cirkel om A met straal BC. Deze cirkel snijdt
g in twee punten E
en F. Ook dit zijn punten van de vijfhoek. Je hebt nu al drie punten van
de vijfhoek gevonden. Heb je enig idee hoe je de andere twee vindt?
Opgave
4. Voer de constructie van de regelmatige vijfhoek uit en maak hem af.